对弧长的曲线积分笔记

一、基本性质

1. 与方向无关$${\int }_{L_{AB}}f(x,y)ds={\int }_{L_{BA}}f(x,y)ds$$
2. 可加性（曲线分段光滑）
   若 $L=L_1+L_2$，则$${\int }_{L}fds={\int }_{L_1}fds+{\int }_{L_2}fds$$
3. 弧长公式
   当 $f(x,y)\equiv 1$ 时，${\int }_{L}ds=s$（$s$ 为曲线 $L$ 的弧长）

二、直角坐标系下的三种形式

1. 曲线由 $y=y(x)$ 给出，$x\in [a,b]$：

   $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$

2. 曲线由参数方程 $x=x(t),y=y(t)$，$t\in [\alpha ,\beta ]$ 给出：

   $${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t))\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$

说明：以上公式中 $[y^{\prime }(t){]}^2$ 和 $[x^{\prime }(t){]}^2$ 均为导数的平方，而不是绝对值。

三、计算步骤

1. 一代：将曲线方程代入被积函数 $f(x,y)$，化为关于参数的函数
2. 二算：写出 $ds=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$（或相应直角坐标形式）
3. 三定限：确定参数 $t$ 的积分区间，下限始终小于上限（积分与方向无关）