第一型曲面积分-例题

例：圆柱面含在球内的部分面积

求圆柱面 $x^{2} + y^{2} = a x$ 含在球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 内的那部分面积。

设圆柱面在 $x y$ 平面上的底面曲线为 $L$ ，即 $L : x^{2} + y^{2} = a x$ 。

由于圆柱面是竖直柱面，可把面积看作底面曲线上的弧长元 $d s$ 乘以竖直高度。球面给出

z = \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} .

由对称性，只计算 $y > 0, z > 0$ 的四分之一部分，再乘以 $4$ ：

S = 4 \int_{L, y > 0} \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} d s .

底面曲线 $L : x^{2} + y^{2} = a x$ 可化为

{(x - \frac{a}{2})}^{2} + y^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} .

因此取参数方程

{\begin{cases} x = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cos θ, \\ y = \frac{a}{2} \sin θ, \end{cases} 0 \leq θ \leq π .

于是

d s = \sqrt{(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2}} d θ = \frac{a}{2} d θ .

又因为在球面上

z = \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} .

代入参数方程可得

z = a \sin \frac{θ}{2} .

所以

S = 4 \int_{0}^{π} a \sin \frac{θ}{2} \cdot \frac{a}{2} d θ .

令 $t = \frac{θ}{2}$ ，则

S = 4 a^{2} \int_{0}^{π / 2} \sin t d t = 4 a^{2} .

因此所求面积为

S = 4 a^{2} .