方向导数

计算公式

若 $u$ 可微，则方向导数等于梯度与单位方向向量的点积：

\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} = \nabla u \cdot \vec{n}

其中梯度 $\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$ 。

定义

设函数 $u = f (x, y, z)$ ， $\vec{n}$ 是单位向量，则 $u$ 沿 $\vec{n}$ 的方向导数为

\frac{\partial u}{\partial \vec{n}} = lim_{t \to 0} \frac{f (P + t \vec{n}) - f (P)}{t}

表示函数在点 $P$ 处沿方向 $\vec{n}$ 的变化率。

与偏导数的关系

偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 是沿坐标轴方向的方向导数（如 $\vec{n} = (1, 0, 0)$ ）。
方向导数可沿任意方向，不限于坐标轴。

注意

$\vec{n}$ 必须为单位向量，否则公式中应除以 $| \vec{n} |$ 。