基本计算

若曲面可写成

则 $dxdy$ 对应曲面在 $xOy$ 平面上的投影面积元。

因此，对于

可以先把曲面方程 $z=f(x,y)$ 代入，再在 $xOy$ 面的投影区域 $D_{xy}$ 上积分：

这是取上侧时的结果。

若取下侧，则符号相反：

符号判断

第二型曲面积分中的 $dxdy$、$dydz$、$dzdx$ 可以理解为曲面在对应坐标平面上的有向投影面积元，方向不同，符号也不同。

例如：

• 对于 $dxdy$，即投影到 $xOy$ 面：
  • 曲面取上侧，符号为正；
  • 曲面取下侧，符号为负。

类似地：

• 对于 $dydz$，即投影到 $yOz$ 面：

  • 法向量朝 $x$ 轴正方向，符号为正；
  • 法向量朝 $x$ 轴负方向，符号为负。

• 对于 $dzdx$，即投影到 $zOx$ 面：

  • 法向量朝 $y$ 轴正方向，符号为正；
  • 法向量朝 $y$ 轴负方向，符号为负。

总结：