球面对称与反对称

第二型曲面积分中的球面对称与反对称

第二型曲面积分判断对称性时，常把它看成通量形式：

\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = \iint_{Σ} \vec{F} \cdot \vec{n} d S

其中

\vec{F} = (P, Q, R)

这样更方便判断哪些项相等，哪些项相互抵消。

若 $Σ$ 是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

并且取外侧，则 $x, y, z$ 三个方向完全等价。

因此常有：

\iint_{Σ} x d y d z = \iint_{Σ} y d z d x = \iint_{Σ} z d x d y

例如：

\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y = 3 \iint_{Σ} z d x d y

也可以用高斯公式计算整体：

div (x, y, z) = 3

所以

\iint_{Σ} x d y d z + y d z d x + z d x d y = ∭_{Ω} 3 d V = 3 \cdot \frac{4}{3} π a^{3} = 4 π a^{3}

因此每一项都等于：

\iint_{Σ} x d y d z = \iint_{Σ} y d z d x = \iint_{Σ} z d x d y = \frac{4}{3} π a^{3}

在球面上有：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

由于球面对 $x, y, z$ 完全对称：

\iint_{Σ} x^{2} d S = \iint_{Σ} y^{2} d S = \iint_{Σ} z^{2} d S

所以：

3 \iint_{Σ} x^{2} d S = \iint_{Σ} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d S = \iint_{Σ} a^{2} d S

而球面面积为：

4 π a^{2}

因此：

\iint_{Σ} x^{2} d S = \frac{1}{3} a^{2} \cdot 4 π a^{2} = \frac{4}{3} π a^{4}

如果曲面或投影区域关于某个坐标面对称，而被积表达式关于该变量是奇的，则两边积分可能相互抵消，结果为 $0$ 。

例如投影区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，即关于 $x = 0$ 对称，则：

\iint_{D} x (1 + y^{2}) d x d y = 0

因为 $x (1 + y^{2})$ 关于 $x$ 是奇函数，对称区域两侧贡献大小相等、符号相反。

普通二重积分中，如果区域关于 $x = 0$ 对称，而被积函数关于 $x$ 是奇函数，则积分为 $0$ ：

\iint_{D} x (1 + y^{2}) d x d y = 0

但第二型曲面积分不能只看 $P, Q, R$ 的奇偶性，因为 $d x d y, d y d z, d z d x$ 是有向投影面积元。

例如：

\iint_{Σ} x d y d z

应看成

\iint_{Σ} x n_{x} d S

若 $Σ$ 是球面外侧，则

n_{x} = \frac{x}{a}

所以

x n_{x} = \frac{x^{2}}{a}

是偶函数，不会相消。

因此第二型曲面积分判断反对称时，要看整体：

\vec{F} \cdot \vec{n}

是否在对称变换下变号。

若整体变号，则积分为 $0$ ；若整体不变号，则不能判断为 $0$ 。